曲線と曲面の微分幾何

画像はレビューの一覧のページから見てください(レビューからだと削除済みの画像が多く表示されるので).・・・現代幾何学を何も知らなければ, まず本書か「数学ガール ポアンカレ予想」「多様体の基礎」を読んでみるとよい. いずれも位相空間論の知識は仮定していない.本書は厚くはなく厳密性より初等的なわかりやすさを重視している. なので曲線論や曲面論や多様体の知識が必要な方なら数学徒ではなくとも読めると思う. 幾何学のあらゆる考え方や概念((偏)微分方程式との関連・測地線・微分形式・リーマン計量・ベクトル場・共変微分・多様体・幾何学的不変量など)が初等的に書かれている. 厳密なことや高度な内容を理解している人向けの補足も所々に見られる.多様体の線型接続については本書の共変微分と測地線の節が理解の参考になる. 特に本書の問にあるベクトル場の共変微分の公式と測地線の方程式の変形版を知っておくと定義の動機がわかる.最初は細部の計算過程や必要最小限以外の具体例や問あるいは証明は適宜飛ばして論理展開をつかむ読み方だと理解しやすい.私は本書で初めてフルネ-セレの公式や基本形式やリーマン計量の本質がわかった.本文を読んでいて気づいたが, 曲面p(u, v)上の曲線p(s)の法曲率(κ_n)(s)とリーマン計量ds^2と第二基本形式Ⅱの間に(κ_n)(s)ds^2＝Ldu^2＋2Mdudv＋Ndv^2＝Ⅱの関係がある. ゆえに曲面p(u, v)上の曲線p(s)の法曲率(κ_n)(s)を考えるには各点p(u(s), v(s))における単位法ベクトルe＝((p_u)×(p_v))/|(p_u)×(p_v)|が必要不可欠なことがわかる(dx^2は(dx)^2の意味である).第一基本形式Ⅰと第二基本形式Ⅱの他に第三基本形式Ⅲがあり, これらと, ガウス曲率K, 平均曲率HについてKⅠ−2HⅡ＋Ⅲ＝0が成り立つことを知ったときは感動した.三角形の内角の和がπであることや四角形の内角の和が2πであることを含むガウス-ボネの定理にも詳しく, 興味深い.xyz-座標空間において方程式z＝αx^2＋βy^2がαβ＞0のとき楕円放物面, αβ＜0のとき双曲放物面, αβ＝0のとき放物柱面またはxy-座標平面を表すことは知っておくと理解がしやすい. また「改訂新版 ベクトル解析からの幾何学入門」を先に読んでいると全体的に理解が早く深くなる.予備知識は微分積分(重積分まで)と簡単な線型代数(行列・数ベクトル空間・固有値など)で充分であるが(コーシー-リーマン方程式までの)複素解析も知っていると, さらなる広がりもわかる. ただガウス曲率と平均曲率の二つの定義が一致することの証明では2×2(正則)行列P, Qに対しdet(PQ)＝det(QP)det(P^(−1))＝(det(P))^(−1)tr(PQ)＝tr(QP)が成り立つという地味な命題が使われている. 直線は半径が無限大の円とみなせることも知っておくと曲率の理解が深まる. 常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性(例えばコーシー-リプシッツの定理)について知っているとなお良い.ちなみに本文に「使って便利で正しい結果が出てくる概念, 記号, 式などは当初曖昧な点があっても, 後できちんと定式化されるということは数学の歴史が示している」とある. 典型的な例が微分形式と超関数である. 超関数はカレントという概念に拡張され複素幾何で用いられている. そして超関数の厳密な定義は「新訂版 数理解析学概論」が参考になる.幾何学が数学徒だけの物ではなくなった現代において本書は幾何学の入門書としてますます価値が高まりそうである. 誤植は殆んどない.なお, 微分形式の外積の記号∧は「かつ」ではなく「ウエッジ」と読む. ご存知かもしれないが念のため.